S-4.2 Mostre que, para todo n in N,
64 divide 7^2 n+16 n-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN,
64midl(7^2n+16n-1r)
O método mais direto é usar prova por indução em n.

Passo 2

Caso base ( n=1):
7^2cdot1+16cdot1-1 = 49 + 16 - 1 = 64,
e de fato 64mid64.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para certo ninN exista kinZ tal que
7^2n+16n-1 = 64,k

Passo 4

Vamos provar que vale também para n+1. Calculamos
7^2(n+1) + 16(n+1) - 1 = 7^2n+2 +16n +16 -1 = 49cdot7^2n +16n +15
Reescrevendo,
49cdot7^2n +16n +15 =49l(7^2n+16n-1r) ;-;49(16n-1) ;+;16n+15
Pela hipótese de indução,
49l(7^2n+16n-1r) =49cdot(64k) =64cdot(49k)
Além disso,
-49(16n-1)+16n+15 =-784n+49+16n+15 =-768n+64 =64cdot(-12n+1)
Somando as parcelas:
64cdot(49k) + 64cdot(-12n+1) =64l(49k-12n+1r),
que é múltiplo de 64. Assim, a propriedade vale para n+1.

Resposta

Pela indução, concluímos que para todo ninN vale
64midl(7^2n+16n-1r)

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