Suponha que f(t) seja derivável e positiva para t in[a, b]. Sejam C a curva parametrizada por gamma(t)=(t, f(t)), t in[a, b], e o campo de forças F(x, y)=(y, 0). Existe alguma relação entre o trabalho integralC F cdot dr e a área da região limitada pelo eixo t , o gráfico de f e as retas t=a t=b ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que f(t) é derivável e positiva em [a,b], que a curva C é dada por
gamma(t) = (t, f(t)), tin[a,b],
e que o campo de forças é F(x,y)=(y,0). Queremos relacionar o trabalho
integralCFcdot dr
com a área da região limitada pelo eixo t, o gráfico de f e as retas t=a e t=b.

Passo 2

Parametrizamos o diferencial de arco pela derivada de gamma. Como
gamma'(t) = l(1,,f'(t)r),
temos
dr = gamma'(t),dt = l(dt,,f'(t),dtr)

Passo 3

Substituindo na integral de linha, note que
Fl(gamma(t)r) = l(f(t),,0r),
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Fl(gamma(t)r)cdotgamma'(t) = l(f(t),0r)cdotl(1,f'(t)r) = f(t)cdot1 + 0cdot f'(t) = f(t)

Passo 4

Portanto o trabalho é
integralCFcdot dr = integrala^bf(t),dt
Mas integrala^bf(t),dt é exatamente a área da região sob o gráfico de f entre t=a e t=b, acima do eixo t.

Resposta

O trabalho integralCFcdot dr coincide com a área da região limitada pelo eixo t, o gráfico de f e as retas t=a e t=b, pois ambos são iguais a integrala^bf(t),dt.

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