Suponha que
seja derivável e positiva para
. Sejam
a curva parametrizada por
, e o campo de forças
. Existe alguma relação entre o trabalho
e a área da região limitada pelo eixo t , o gráfico de
e as retas
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que
é derivável e positiva em
, que a curva
é dada por
e que o campo de forças é
. Queremos relacionar o trabalho
com a área da região limitada pelo eixo
, o gráfico de
e as retas
e
.
Passo 2
Parametrizamos o diferencial de arco pela derivada de
. Como
temos
Passo 3
Substituindo na integral de linha, note que
logo
Passo 4
Portanto o trabalho é
Mas
é exatamente a área da região sob o gráfico de
entre
e
, acima do eixo
.
Resposta
O trabalho
coincide com a área da região limitada pelo eixo
, o gráfico de
e as retas
e
, pois ambos são iguais a
.