Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t sen b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função ;f(t)=tsin(bt). O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e a propriedade que relaciona a multiplicação por t no domínio do tempo com a derivada em s:
Lt,g(t)(s) = -ddsl[Lg(t)(s)r]

Passo 2

Primeiro lembramos a transformada de Laplace de sin(bt). Usando tabela ou calculando diretamente,
Lsin(bt)(s) =integral0^inftye^-stsin(bt),dt =bs^2+b^2
Denotemos G(s)=Lsin(bt)(s)=bs^2+b^2.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade da derivada: como f(t)=tsin(bt), temos
Ltsin(bt)(s) =-ddsl[G(s)r] =-dds(bs^2+b^2)
Calculamos a derivada:
dds!l(tfracbs^2+b^2r) =bcdotddsl[(s^2+b^2)^-1r] =bcdot(-1)(s^2+b^2)^-2cdot 2s =-2bs(s^2+b^2)^2
Logo,
-dds!l(tfracbs^2+b^2r) =2bs(s^2+b^2)^2

Resposta

L,tsin(bt)(s) =2bs(s^2+b^2)^2

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