Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ - x y = -x $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem e o método de fator integrante. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a integração e encontrar a solução para $ y $.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação $ y’ - x y = -x $ pode ser reescrita como:
Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = -x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) = -x $:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ y \mu(x) $:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo uma substituição simples:
Seja $ u = -\frac{x^2}{2} $, então $ du = -x dx $. Assim:
Seja $ u = -\frac{x^2}{2} $, então $ du = -x dx $. Assim:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e{\frac{x2}{2}} $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.