Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime-x y=-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ - x y = -x $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem e o método de fator integrante. Basicamente, vamos transformar a equação para facilitar a integração e encontrar a solução para $ y $.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, a equação $ y’ - x y = -x $ pode ser reescrita como:
y' - x y = -x
Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = -x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -x $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ y \mu(x) $:
e^-x^22 y' - x e^-x^22 y = -x e^-x^22

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddx ( y e^-x^22 ) dx = integral -x e^-x^22 dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo uma substituição simples:
Seja $ u = -\frac{x^2}{2} $, então $ du = -x dx $. Assim:
u = -x^22
Portanto:
du = -x dx

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e{\frac{x2}{2}} $:
y

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = 1 + C, e^,x^22
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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