Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(2 x sen y+4 e^x, cos y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=2xsin y +4e^x,; Q(x,y)=cos y
é conservativo (isto é, se o integral de linha integral CFcdot dr é independente do caminho). Para isso, usaremos o critério de campos conservativos em domínios simplesmente conectados:
partial Ppartial y stackrel?= partial Qpartial x

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2xsin y +4e^xr) =2xcos y,
partial Qpartial x = partialpartial xl(cos yr) =0

Passo 3

Como em todo ponto do domínio
partial Ppartial y=2xcos y neq 0=partial Qpartial x,
o campo F não satisfaz o critério de conservatividade.

Passo 4

Logo, F não é conservativo em R^2 (domínio simplesmente conectado), e a integral de linha
integral CFcdot dr
depende do caminho escolhido. Não existe, portanto, função potencial global phi tal que nablaphi=F.

Resposta

O campo F(x,y)=(2xsin y+4e^x,cos y) não é conservativo, pois
partial P/partial yneqpartial Q/partial x. Portanto,
integral CFcdot dr depende do caminho e não há potencial global.

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