Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sôbre os eixos coordenados. Resp. Ix=Iy=Iz=23 k L^5.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia de um cubo de aresta L e densidade constante k, posicionado de modo que um vértice coincide com a origem e três arestas coincidem com os eixos x, y e z. Vamos usar a definição de momento de inércia em torno de um eixo e a geometria do sólido para montar a integral.

Passo 2

O momento de inércia em torno do eixo x para um corpo de densidade volumétrica k é dado por
Ix = integralV (y^2 + z^2),dm
onde dm = k,dV. Como o cubo ocupa o volume
0 <= x <= L, 0 <= y <= L, 0 <= z <= L,
temos
Ix = k integral0^L!integral0^L!integral0^L (y^2 + z^2),dz,dy,dx

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
Ix = k integral0^L!integral0^L!integral0^L y^2,dz,dy,dx + k integral0^L!integral0^L!integral0^L z^2,dz,dy,dx
Em cada parcela, um dos eixos se integra de modo trivial:
integral0^L!dx = L, integral0^L!dz = L, integral0^L!dy = L
Assim,
integral0^L!integral0^L!integral0^L y^2,dz,dy,dx = Lgl(integral0^Ly^2,dygr)L = L^2cdot L^33 = L^53,
e de modo análogo
integral0^L!integral0^L!integral0^L z^2,dz,dy,dx = L^53
Somando as duas parcelas:
Ix = kl(L^53 + L^53r) = 23,k,L^5

Passo 4

Pelo caráter simétrico do cubo em relação aos três eixos coordenados, os momentos de inércia em torno de y e z são idênticos a Ix. Logo,
Ix = Iy = Iz = 23,k,L^5

Resposta

Ix=Iy=Iz=23,k,L^5

Exercícios relacionados