Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante
e aresta
se um dos seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sôbre os eixos coordenados. Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede os momentos de inércia de um cubo de aresta
e densidade constante
, posicionado de modo que um vértice coincide com a origem e três arestas coincidem com os eixos
,
e
. Vamos usar a definição de momento de inércia em torno de um eixo e a geometria do sólido para montar a integral.
Passo 2
O momento de inércia em torno do eixo
para um corpo de densidade volumétrica
é dado por
onde
. Como o cubo ocupa o volume
temos
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes:
Em cada parcela, um dos eixos se integra de modo trivial:
Assim,
e de modo análogo
Somando as duas parcelas:
Passo 4
Pelo caráter simétrico do cubo em relação aos três eixos coordenados, os momentos de inércia em torno de
e
são idênticos a
. Logo,