Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(-2 y^3 sen x, 6 y^2 cos x+5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot d r
onde
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(-2y^3sin x,;6y^2cos x+5r),
verificar se ela é independente do caminho e, em caso afirmativo, encontrar um potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F.

Passo 2

Para checar se F é conservativo em R^2, comparamos
partial Ppartial y e partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-2y^3sin xr) =-6y^2sin x,
partial Qpartial x =partialpartial xl(6y^2cos x+5r) =-6y^2sin x
Como
partial P/partial y=partial Q/partial x, F é conservativo (num domínio simplesmente conexo).

Passo 3

Buscamos phi(x,y) satisfazendo
partial phipartial x=P(x,y)=-2y^3sin x
Integramos em x:
phi(x,y) =integral -2y^3sin x,dx =2y^3cos x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial phipartial y =6y^2cos x + h'(y) stackrel!=Q(x,y)=6y^2cos x+5
Daqui segue
h'(y)=5 Longrightarrow h(y)=5y + C

Passo 5

Logo um potencial válido é
phi(x,y)=2y^3cos x+5y+C
Isso mostra que a integral de linha é independente do caminho e, para uma curva que vá de A=(x1,y1) até B=(x2,y2), vale
integralCFcdot dr =phi(x2,y2)-phi(x1,y1)

Resposta

A função potencial é
phi(x,y)=2y^3cos x+5y
(excluindo a constante irrelevante) e
integralCFcdot dr =phi(B)-phi(A),
provando a independência do caminho.

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