Calcule
, onde
(função vetorial) e
uma curva, definida pela função
.
Verifique que
é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
verificar se ela é independente do caminho e, em caso afirmativo, encontrar um potencial
tal que
.
Passo 2
Para checar se
é conservativo em
, comparamos
Calculamos
Como
,
é conservativo (num domínio simplesmente conexo).
Passo 3
Buscamos
satisfazendo
Integramos em
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Daqui segue
Passo 5
Logo um potencial válido é
Isso mostra que a integral de linha é independente do caminho e, para uma curva que vá de
até
, vale
Resposta
A função potencial é
(excluindo a constante irrelevante) e
provando a independência do caminho.