Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k e C é a cúbica retorcida dada por
x=t, y=t^2 e z=t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
onde vec F(x,y,z)=xy,vec i + yz,vec j + zx,vec k e C é a curva parametrizada por
x=t, y=t^2, z=t^3, 0<= t<=1
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que se resolve parametrizando a curva, avaliando vec F ao longo dela, calculando dvec r=vec r,'(t),dt e integrando o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos vec r(t)=l(t,t^2,t^3r). Substituindo na função,
vec Fl(vec r(t)r) =l(tcdot t^2,;t^2cdot t^3,;t^3cdot tr) =lang<= t^3,;t^5,;t^4rang<=

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização,
vec r,'(t)=lang<= 1,;2t,;3t^2rang<=,
e o produto escalar
vec Fl(vec r(t)r)cdot vec r,'(t) = t^3cdot1 + t^5cdot(2t) + t^4cdot(3t^2) = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=1:
integral0^1l(t^3 + 5t^6r),dt =integral0^1t^3,dt + 5integral0^1t^6,dt =[t^44]0^1 + 5[t^77]0^1 =14 + 57 =728 + 2028 =2728

Resposta

2728

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