Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn!.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+12^nn!
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo: convergência de séries, em particular convergência absoluta e Teste da Razão.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos dos termos:
sumn=1^infty|;(-1)^n+12^nn!| =sumn=1^infty2^nn!

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão a bn=2^nn!. Calculamos
L=limntoinftybn+1bn =limntoinfty2^n+1/(n+1)!2^n/n! =limntoinfty2n+1 =0
Como L=0<1, a série sum bn converge.

Passo 4

Concluímos que sum|an| converge, ou seja, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (e não apenas condicional).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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