Calcule integralC f(x, y) d s, onde
(a) f(x, y)=x y e C parametrizada por r(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= pi2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de uma função escalar
integralC f(x,y),ds
onde f(x,y)=xy e C é o arco da circunferência unitária no primeiro quadrante, parametrizado por
vec r(t)=(cos t,sin t), 0<= t<= tfracpi2.
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, usando a parametrização e a fórmula
ds = l|tfracdvec rdtr|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização e seu módulo:
tfracdvec rdt = (-sin t,;cos t),
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l|tfracdvec rdtr| = raiz(-sin t)^2+(cos t)^2 =1

Passo 3

Substituímos x=cos t, y=sin t e ds=1cdot dt na integral:
integralCxy,ds =integral0^tfracpi2(cos t)(sin t),l|tfracdvec rdtr|,dt =integral0^tfracpi2cos t,sin t,dt

Passo 4

Para calcular
integral0^tfracpi2cos t,sin t,dt
fazemos a substituição u=sin t, du=cos t,dt, obtendo
integral0^tfracpi2cos t,sin t,dt =integralu(0)=0^u(pi/2)=1u,du =l[tfracu^22r]0^1 =tfrac12

Resposta

12

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