O domínio e contradomínio das funções abaixo são subconjuntos da reta. Para cada um dos itens seguintes encontre o domínio (o maior possível) e a imagem.
Passo 1
O enunciado dá a função racional f(x)=\frac{x^2-9}{-4x+4} e pede o domínio (maior possível) e a imagem (maior possível) dessa função de R em R.
Passo 2
Para achar o domínio de uma função racional, precisamos exigir que o denominador não seja zero. Aqui o denominador é -4x+4, que anula em x=1. Logo o domínio é R{1}.
Passo 3
Para achar a imagem, igualamos f(x)=y e investigamos para quais y existe x no domínio tal que y=\frac{x^2-9}{-4x+4}. Fazendo
obtemos a equação quadrática
Passo 4
O discriminante dessa quadrática em x é
e como 16y2+16y+36=4(4y2+4y+9) tem 4y^2+4y+9>0 para todo y real, temos \Delta>0 sempre. Portanto, para qualquer y real existem duas raízes reais x. Nenhuma dessas raízes pode ser x=1, pois substituir x=1 na equação levaria a 0·y=-8, impossível. Concluímos que todo y em R é atingido por algum x no domínio, ou seja, a imagem é R.
Resposta
Domínio: R{1}. Imagem: R.