Mostre que a função
u(x, y, z, t)=1(4 pi t)^32 e^-z^2+y^2+z^24, t>0
satisfaz a equação do calor
partial upartial t=partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos a função
u(x, y, z, t) = 1(4 pi t)^32 e^-x^2+y^2+z^24t, t > 0
e precisamos mostrar que ela satisfaz a equação do calor:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2
Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades das funções exponenciais para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo , ou seja, . A função depende de em dois lugares: no termo e no expoente . Vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar essa derivada.

Passo 3

Calculando partial upartial t = partialpartial t ( 1(4 pi t)^32 ) e^-x^2+y^2+z^24t + 1(4 pi t)^32 partialpartial t ( e^-x^2+y^2+z^24t ) :
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 4

Derivando partialpartial t ( 1(4 pi t)^32 ) = -32 cdot 1(4 pi t)^52 cdot 4 pi = -32t cdot 1(4 pi t)^32 em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos o expoente partialpartial t ( e^-x^2+y^2+z^24t ) = e^-x^2+y^2+z^24t cdot ( x^2+y^2+z^24t^2 ) em relação a :

Passo 6

Substituindo as derivadas no cálculo de partial upartial t = -32t cdot 1(4 pi t)^32 e^-x^2+y^2+z^24t + 1(4 pi t)^32 cdot x^2+y^2+z^24t^2 e^-x^2+y^2+z^24t :
partial upartial t = ( -32t + x^2+y^2+z^24t^2 ) u
Podemos simplificar isso para:

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de partial upartial x = 1(4 pi t)^32 cdot e^-x^2+y^2+z^24t cdot ( -2x4t ) = -x2t u em relação a partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( -x2t u ) = -12t u + ( -x2t ) cdot ( -x2t u ) = -u2t + x^24t^2 u , partial^2 upartial y^2 = -u2t + y^24t^2 u e partial^2 upartial z^2 = -u2t + z^24t^2 u . Vamos fazer isso para e o mesmo se aplica para e .
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Repetindo para e , temos:

Passo 8

Somando as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = -3u2t + x^2+y^2+z^24t^2 u

Passo 9

Observamos que:
partial upartial t = ( -32t + x^2+y^2+z^24t^2 ) u
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = ( -32t + x^2+y^2+z^24t^2 ) u
Portanto, .

Resposta

A função satisfaz a equação do calor.

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