Mostre que a função
satisfaz a equação do calor
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos a função
e precisamos mostrar que ela satisfaz a equação do calor:
Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades das funções exponenciais para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. A função
depende de
em dois lugares: no termo
e no expoente
. Vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar essa derivada.
Passo 3
Calculando
:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos o expoente
em relação a
:
Passo 6
Substituindo as derivadas no cálculo de
:
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação a
,
e
. Vamos fazer isso para
e o mesmo se aplica para
e
.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Repetindo para
e
, temos:
Passo 8
Somando as segundas derivadas:
Passo 9
Observamos que:
Portanto,
.
Resposta
A função
satisfaz a equação do calor.