Calcule integralC 4 x d x+2 y d y, onde C é dada por x=y^3+1, de (0,-1) a (9,2).

Passo 1

O enunciado: queremos calcular a integral de linha integralC4x,dx+2y,dy, onde a curva C é dada por x=y^3+1, indo do ponto (0,-1) até (9,2). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e vamos usar que, se o campo for conservativo, basta achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro a gente identifica o campo vetorial F(x,y)=(M,N)=(4x,2y) e checa se é conservativo. Como partial M/partial y=0 e partial N/partial x=0, o campo é conservativo.

Passo 3

Então existe uma função potencial f(x,y) tal que partial f/partial x=4x e partial f/partial y=2y. Integrando partial f/partial x=4x em relação a x, obtemos f(x,y)=2x^2+g(y). Derivando em relação a y, partial f/partial y=g'(y) deve ser igual a 2y, logo g(y)=y^2. Assim
f(x,y)=2x^2+y^2

Passo 4

A integral de linha é simplesmente f avaliada nos extremos da curva:
f(9,2)-f(0,-1)=(2cdot9^2+2^2)-(2cdot0^2+(-1)^2)= (162+4)-(0+1)=166-1=165

Resposta

165

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