Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^nsinl(1/nr). O conteúdo aqui é séries alternadas, e vamos precisar aplicar o teste de Leibniz (para convergência) e o teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica).

Passo 2

Observamos que para todo n temos sin(1/n)>0. Além disso,
limntoinftysinl(1/nr)=sin(0)=0.
Mostramos que os termos sin(1/n) formam uma sequência positiva e decrescente para n>=1, pois 1/(n+1)<1/n implica sin(1/(n+1)).

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, uma série alternada cujos termos positivos são decrescentes e tendem a zero converge. Logo, sum(-1)^nsin(1/n) converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos:
sumn=1^inftyl|(-1)^nsin(1/n)r|=sumn=1^inftysin(1/n).
Usamos o teste da comparação limite com 1/n:
limntoinftysin(1/n)1/n=1

Passo 5

Como sum1/n diverge (série harmônica), segue que sumsin(1/n) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente, ou seja, é condicionalmente convergente.

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