Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
A série dada é . O conteúdo aqui é séries alternadas, e vamos precisar aplicar o teste de Leibniz (para convergência) e o teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica).
Passo 2
Observamos que para todo temos . Além disso, .
Mostramos que os termos formam uma sequência positiva e decrescente para , pois implica .
Passo 3
Pelo teste de Leibniz, uma série alternada cujos termos positivos são decrescentes e tendem a zero converge. Logo, converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos: .
Usamos o teste da comparação limite com 1/n:
limntoinftysin(1/n)1/n=1
Passo 5
Como sum1/n diverge (série harmônica), segue que sumsin(1/n) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge, mas não converge absolutamente, ou seja, é condicionalmente convergente.