Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (comparação com série harmônica) e teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, analisamos . Para ntoinfty, temos raiz[3]n^2+3nsim n^2/3, então o denominador comporta-se como n + n^2/3sim n. Logo 1n+raiz[3]n^2+3nsim 1n e, como sum1/n diverge, a nossa série de termos absolutos também diverge. Portanto não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de Leibniz para convergência condicional. Definimos an = 1n+raiz[3]n^2+3n. Observamos que: (i) an>0; (ii) an é decrescente, pois o denominador cresce com n; (iii) limntoinftyan = 0. Assim a série alternada sum(-1)^n an converge por critério de Leibniz.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente, mas satisfaz o teste de Leibniz, concluímos que ela converge apenas de forma condicional.