Calcule
, onde
é a elipse
percorrida no sentido horário. (Resp.:
.)
Passo 1
Resumindo: queremos avaliar a integral de linha
onde
é a elipse
percorrida no sentido horário. O tema aqui é usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região
interna a
.
Passo 2
O Teorema de Green requer orientação positiva (anti-horária). Como
está em sentido horário, escrevemos
onde
é o mesmo contorno com orientação anti-horária.
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para
e
vale
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
logo
Passo 5
Portanto
Como
é a elipse de semi-eixos
e
,
logo
Passo 6
Voltando ao sentido horário de
: