Calcule integralC-y d x+x d y, onde C é a elipse x^24+y^29=1 percorrida no sentido horário. (Resp.: -12 pi.)

Passo 1

Resumindo: queremos avaliar a integral de linha
ointC(-y,dx + x,dy)
onde C é a elipse x^24+y^29=1 percorrida no sentido horário. O tema aqui é usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

O Teorema de Green requer orientação positiva (anti-horária). Como C está em sentido horário, escrevemos
ointC(-y,dx + x,dy) = -,ointC^+(-y,dx + x,dy),
onde C^+ é o mesmo contorno com orientação anti-horária.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para P(x,y)=-y e Q(x,y)=x vale
ointC^+(P,dx+Q,dy) = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial xpartial x=1, partial Ppartial y =partial(-y)partial y=-1,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-(-1)=2

Passo 5

Portanto
ointC^+(-y,dx + x,dy) = integral duplaD2,dA = 2cdotArea(D)
Como D é a elipse de semi-eixos a=2 e b=3,
Area(D)=pi ab=picdot2cdot3=6pi,
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ointC^+(-y,dx + x,dy)=2cdot6pi=12pi

Passo 6

Voltando ao sentido horário de C:
ointC(-y,dx + x,dy) = -,ointC^+(-y,dx + x,dy) = -12pi

Resposta

-12pi

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