S-4.7 Mostre que 19 nunca divide um número da forma 4 n^2+4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro n tal que
19 mid (4n^2 + 4)
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e resíduos quadráticos.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista n com
19 mid (4n^2 + 4)
Isto equivale a
4n^2 + 4 equiv 0 pmod19
Como gcd(4,19)=1, podemos dividir a congruência por 4, obtendo
n^2 + 1 equiv 0 pmod19 Long<=ftrightarrow n^2 equiv -1 pmod19

Passo 3

A congruência n^2 equiv -1 pmod19 só teria solução se -1 fosse um resíduo quadrático módulo 19. Para um primo ímpar p vale a fórmula do símbolo de Legendre:
l(tfrac-1pr) = (-1)^p-12
No nosso caso p=19, logo tfracp-12=9 é ímpar, e
l(tfrac-119r) = (-1)^9 = -1
Isto significa que -1 não é resíduo quadrático módulo 19; ou seja, não existe n tal que n^2equiv -1pmod19.

Passo 4

Como não há solução para n^2 equiv -1 pmod19, a hipótese de que 19 divide 4n^2+4 leva a uma contradição. Portanto concluímos que 19 nunca divide 4n^2+4.

Resposta

Não existe inteiro n tal que 19mid(4n^2+4).

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