S-4.7 Mostre que 19 nunca divide um número da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro
tal que
O conteúdo principal aqui é aritmética modular e resíduos quadráticos.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista
com
Isto equivale a
Como
, podemos dividir a congruência por
, obtendo
Passo 3
A congruência
só teria solução se
fosse um resíduo quadrático módulo
. Para um primo ímpar
vale a fórmula do símbolo de Legendre:
No nosso caso
, logo
é ímpar, e
Isto significa que
não é resíduo quadrático módulo
; ou seja, não existe
tal que
.
Passo 4
Como não há solução para
, a hipótese de que
divide
leva a uma contradição. Portanto concluímos que 19 nunca divide
.
Resposta
Não existe inteiro
tal que
.