S-4.5 Mostre que
é múltiplo de 1001 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é múltiplo de
. O conteúdo principal aqui é divisibilidade via aritmética modular. Vamos usar que
ou seja, basta provar que a expressão é congruente a zero módulo
, módulo
e módulo
.
Passo 2
Para cada primo
calculamos
Se o resultado for
para cada
, então a expressão é divisível por
, por
e por
, logo por
.
Passo 3
Cálculo módulo 7:
Logo
E como
, obtemos
Passo 4
Cálculo módulo 11:
Assim
Pela Pequena Teorema de Fermat,
. Então
Passo 5
Cálculo módulo 13:
pois
. Logo
Como
, temos
e portanto
Resposta
A expressão é congruente a zero módulo
,
e
. Logo é múltipla de