S-4.5 Mostre que 143^6+91^10+77^12-1 é múltiplo de 1001 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
143^6 + 91^10 + 77^12 - 1
é múltiplo de 1001. O conteúdo principal aqui é divisibilidade via aritmética modular. Vamos usar que
1001 = 7 times 11 times 13
ou seja, basta provar que a expressão é congruente a zero módulo 7, módulo 11 e módulo 13.

Passo 2

Para cada primo pin7,11,13 calculamos
143^6 + 91^10 + 77^12 - 1 pmod p
Se o resultado for 0 para cada p, então a expressão é divisível por 7, por 11 e por 13, logo por 1001.

Passo 3

Cálculo módulo 7:
143 equiv 11cdot13 equiv 4cdot6 =24equiv 3 pmod7,
91 equiv 7cdot13equiv 0 pmod7,
77 equiv 7cdot11equiv 0 pmod7
Logo
143^6+91^10+77^12-1 equiv 3^6+0+0-1 pmod7
E como 3^6=729equiv 1pmod7, obtemos
3^6-1equiv 1-1=0pmod7

Passo 4

Cálculo módulo 11:
143 equiv 11cdot13equiv 0 pmod11,
77 equiv 7cdot11equiv 0 pmod11,
91 equiv 7cdot13equiv 7cdot2=14equiv 3 pmod11
Assim
143^6+91^10+77^12-1 equiv 0 + 3^10 + 0 -1 pmod11
Pela Pequena Teorema de Fermat, 3^10equiv1pmod11. Então
3^10-1equiv1-1=0pmod11

Passo 5

Cálculo módulo 13:
143 equiv 11cdot13equiv 0 pmod13,
91 equiv 7cdot13equiv 0 pmod13,
77 equiv 7cdot11equiv 77equiv 12 pmod13,
pois 77=13cdot5+12. Logo
143^6+91^10+77^12-1 equiv 0+0+12^12-1 pmod13
Como 12equiv -1pmod13, temos
12^12equiv(-1)^12=1pmod13
e portanto
12^12-1equiv1-1=0pmod13

Resposta

A expressão é congruente a zero módulo 7, 11 e 13. Logo é múltipla de
7times 11times 13 =1001

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