Calcule integralC f d s quando f(x, y)=x y^4 e C é a parte direita da circunferência x^2+y^2= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x,y^4 sobre a curva C que é a parte direita da circunferência x^2+y^2=1. O conteúdo aqui é a integral de linha de primeira espécie, em que usamos uma parametrização de C e a fórmula
integralCf,ds = integrala^b fl(x(t),y(t)r),llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Para cobrir a metade direita da circunferência escolhemos a parametrização
r(t) = l(cos t,;sin tr), tinl[-tfracpi2,tfracpi2r],
pois para esses valores de t temos cos t>=0, descrição exata da “parte direita”.

Passo 3

Calculamos r'(t) e o elemento de arco ds:
r'(t) = l(-sin t,;cos tr), llVert r'(t)rrVert = raizsin^2t+cos^2t=1,
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ds = llVert r'(t)rrVert,dt = dt
A função f na parametrização fica
fl(x(t),y(t)r) = cos t;(sin t)^4

Passo 4

Substituindo em integralCf,ds obtemos
integral-pi/2^pi/2 cos t,(sin t)^4,dt
Como o integrando é função par (pois cos(-t)=cos t e (sin(-t))^4=(sin t)^4), dá para usar simetria:
integral-pi/2^pi/2 cos t,(sin t)^4,dt = 2integral0^pi/2 cos t,(sin t)^4,dt
Fazemos a substituição u=sin t, du=cos t,dt, e quando t vai de 0 a pi/2, u vai de 0 a 1. A integral vira
2integral0^1 u^4,du =2cdotu^55|0^1 =2cdot15 =25

Resposta

25

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