Resolver as integrais
integral sen^4 phi d phi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^4phi , dphi
O conteúdo aqui é integração de potências pares de função trigonométrica, e vamos precisar usar identidades de redução de potência.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^2phi = 1 - cos 2phi2
Logo
sin^4phi = l(sin^2phir)^2 = 14l(1 - cos 2phir)^2 = 14l(1 - 2cos 2phi + cos^22phir)

Passo 3

Para reduzir o termo cos^22phi aplicamos
cos^22phi = 1 + cos 4phi2
Substituindo em sin^4phi
sin^4phi = 14l(1 - 2cos 2phi + 1 + cos 4phi2r) = 38 ;-; 12cos 2phi ;+; 18cos 4phi

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral sin^4phi , dphi = integral l(38 - 12cos 2phi + 18cos 4phir),dphi = 38!integral dphi - 12!integral cos 2phi,dphi + 18!integral cos 4phi,dphi

Passo 5

Calculamos as integrais básicas
integral dphi = phi, integral cos 2phi,dphi = 12sin 2phi, integral cos 4phi,dphi = 14sin 4phi

Passo 6

Substituindo de volta:
integral sin^4phi ,dphi = 38,phi - 12cdot 12sin 2phi + 18cdot 14sin 4phi + C = 38phi - 14sin 2phi + 132sin 4phi + C

Resposta

boxedintegral sin^4phi ,dphi = 38phi ;-; 14sin 2phi ;+; 132sin 4phi + C

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