Resolver as integrais
integral 1x^2 raiz2 x-x^2 d x, usando uma substituição de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a seguinte: integral 1x^2 raiz2 x -x^2 dx. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente usando uma técnica chamada substituição de Euler. Vamos precisar entender como aplicar essa substituição para simplificar a integral e chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que está dentro da raiz: 2x - x^2. Isso é uma expressão quadrática que pode ser reescrita como x(2 - x). Para facilitar a integração, vamos usar uma substituição trigonométrica, uma das formas de substituição de Euler, onde a raiz quadrada de uma expressão quadrática pode ser substituída usando funções trigonométricas.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = 1 + sintheta. Com isso, precisamos calcular dx em termos de theta:
dx = costheta , dtheta

Passo 4

Substituindo x na expressão 2x - x^2:
2(1 + sintheta) - (1 + sintheta)^2 = 2 + 2sintheta - (1 + 2sintheta + sin^2theta) = 1 - sin^2theta
Isso simplifica para:
raiz2x - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta

Passo 5

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral 1(1 + sintheta)^2 costheta cdot costheta , dtheta = integral 1(1 + sintheta)^2 , dtheta
Os costheta se cancelam.

Passo 6

Agora, para integrar 1(1 + sintheta)^2, usamos uma identidade trigonométrica ou uma substituição adicional. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 1 - sintheta:
1(1 + sintheta)^2 cdot 1 - sintheta1 - sintheta = 1 - sintheta(1 - sin^2theta)(1 + sintheta)
Sabemos que 1 - sin^2theta = cos^2theta, então isso simplifica para:
1 - sinthetacos^2theta (1 + sintheta) = 1 - sinthetacos^2theta (1 + sintheta) = 1cos^2theta cdot 1 - sintheta1 + sintheta
E isso pode ser simplificado usando identidades trigonométricas.

Passo 7

A integração resulta em:
integral 1(1 + sintheta)^2 , dtheta = -11 + sintheta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos theta de volta para x. Lembrando que x = 1 + sintheta, então sintheta = x - 1. Portanto:
-11 + (x - 1) + C = -1x + C

Resposta

A integral integral 1x^2 raiz2 x -x^2 dx é igual a -1x + C, onde C é a constante de integração.

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