Resolver as integrais
, usando uma substituição de Euler.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é a seguinte:
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente usando uma técnica chamada substituição de Euler. Vamos precisar entender como aplicar essa substituição para simplificar a integral e chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que está dentro da raiz:
. Isso é uma expressão quadrática que pode ser reescrita como
. Para facilitar a integração, vamos usar uma substituição trigonométrica, uma das formas de substituição de Euler, onde a raiz quadrada de uma expressão quadrática pode ser substituída usando funções trigonométricas.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Com isso, precisamos calcular
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Os
se cancelam.
Passo 6
Agora, para integrar
, usamos uma identidade trigonométrica ou uma substituição adicional. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por
:
Sabemos que
, então isso simplifica para:
E isso pode ser simplificado usando identidades trigonométricas.
Passo 7
A integração resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta para
. Lembrando que
, então
. Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.