Considere o problema de valor inicial
y^prime-32 y=3 t+2 e^prime, y(0)=y0
Encontre o valor de y0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t infty das que crescem em módulo corn sinal negativo. Como a solução correspondente a esse valor crítico de y0 se comporta quando t infty ? Mostre que todas as soluções de 2 y^prime+t y=2 [Eq. (41) do texto] tendem a um limite quando t infty e encontre o valor desse limite.
Sugestão: Considere a solução geral, Eq. (47), e use a regra de L’Hôpital no primeiro termo.

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
Na primeira, o IVP é
y' - tfrac32,y = 3t + 2e^t, y(0)=y0
Queremos achar o valor crítico de y0 que separa as soluções que tendem a +infty das que tendem a -infty, e também ver como se comporta a solução no caso crítico.
Na segunda parte, o IVP é
2,y' + t,y = 2,
e precisamos mostrar que toda solução tende a um limite finito quando ttoinfty e encontrar esse limite.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de 1º ordem usando fator integrante e análise assintótica (regra de L’Hôpital, se for o caso).

Passo 2

Resolvendo
y' - tfrac32,y = 3t + 2e^t
usamos o fator integrante mu(t)=e^-tfrac32 t. Multiplicando a EDO por mu obtém-se
ddtl(y,e^-tfrac32 tr) = e^-tfrac32 t(3t + 2e^t)
Integramos de 0 a t:
y(t),e^-tfrac32 t = y0 + integral0^te^-tfrac32 s(3s+2e^s),ds
Fazendo a integral por partes e separando termos, chega-se à forma fechada
y(t) = l(y0 + tfrac163r),e^tfrac32 t ;-;4,e^t ;-;2t ;-;tfrac43

Passo 3

Analisando ttoinfty, os termos em crescimento são
underbracel(y0 + tfrac163r)e^tfrac32 texpoente 1,5 e underbrace-4e^texpoente 1
Como 1,5>1, o termo com e^3t/2 domina.
  • Se y0 + tfrac163>0, então y(t)to +infty.
  • Se y0 + tfrac163<0, então y(t)to -infty.
    No caso crítico y0 = -tfrac163, o coeficiente do e^3t/2 zera e resta
y(t)|y0=-tfrac163 = -,4,e^t ;-;2t ;-;tfrac43 ;xrightarrow[ttoinfty]; -infty,
isto é, cresce em módulo mas com sinal negativo, dominado pelo -4e^t.

Passo 4

Agora 2y' + t,y=2. Dividimos por 2 e escrevemos
y' + tfrac t2,y =1
O fator integrante é
mu(t)=exp!l(tfrac12!integral t,dtr)=e^t^2/4
Multiplicando e integrando de 0 a t
y(t),e^t^2/4 = y(0) + integral0^t e^s^2/4,ds,
logo a solução geral é
y(t) = C,e^-t^2/4 ;+;e^-t^2/4integral0^te^s^2/4,ds,
onde C=y(0) é arbitrário.

Passo 5

Para ttoinfty, o primeiro termo C,e^-t^2/4to0. No segundo, definimos
A(t)=integral0^te^s^2/4,ds,
então estudamos
limttoinftye^-t^2/4,A(t) =limttoinftyA(t)e^t^2/4
Ambos numerador e denominador tendem a +infty, aplicando L’Hôpital:
limttoinftyA(t)e^t^2/4 =limttoinftyA'(t)tfract2,e^t^2/4 =limttoinftye^t^2/4tfract2,e^t^2/4 =limttoinfty2t =0
Portanto todo termo da solução tende a zero.

Resposta

Valor crítico:
y0 = -tfrac163
No caso crítico,
y(t)sim -4,e^tRightarrow y(t)to -infty (cresce em módulo com sinal negativo) ó
Para a EDO 2y'+ty=2, todas as soluções tendem a
limttoinftyy(t)=0

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