Encontre o valor de que separa as soluções que crescem positivamente quando das que crescem em módulo corn sinal negativo. Como a solução correspondente a esse valor crítico de se comporta quando ? Mostre que todas as soluções de [Eq. (41) do texto] tendem a um limite quando e encontre o valor desse limite.
Sugestão: Considere a solução geral, Eq. (47), e use a regra de L’Hôpital no primeiro termo.
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
Na primeira, o IVP é
Queremos achar o valor crítico de que separa as soluções que tendem a das que tendem a , e também ver como se comporta a solução no caso crítico.
Na segunda parte, o IVP é
e precisamos mostrar que toda solução tende a um limite finito quando e encontrar esse limite.
O conteúdo é resolução de EDOs lineares de º ordem usando fator integrante e análise assintótica (regra de L’Hôpital, se for o caso).
Passo 2
Resolvendo
usamos o fator integrante . Multiplicando a EDO por obtém-se
Integramos de a :
Fazendo a integral por partes e separando termos, chega-se à forma fechada
Passo 3
Analisando , os termos em crescimento são
Como 1,5>1, o termo com e^3t/2 domina.
Se y0 + tfrac163>0, então y(t)to +infty.
Se y0 + tfrac163<0, então y(t)to -infty.
No caso crítico y0 = -tfrac163, o coeficiente do e^3t/2 zera e resta