Resolver as integrais
integral tg^3 phi sec ^3 phi d phi

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
integral tan^3phi ,sec^3phi ,dphi
O conteúdo é integração de funções trigonométricas e vamos usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.

Passo 2

Usamos a identidade
tan^2phi = sec^2phi - 1,
portanto
tan^3phi = tanphi,(sec^2phi - 1)

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral tan^3phi ,sec^3phi ,dphi = integral (sec^2phi - 1),tanphi,sec^3phi ,dphi
= integral l(sec^5phi,tanphi - sec^3phi,tanphir),dphi

Passo 4

Observamos que
d(secphi) = secphi,tanphi,dphi
Fazendo a substituição
u = secphi, du = secphi,tanphi,dphi,
cada parte da integral vira
integral sec^5phi,tanphi,dphi = integral u^4,du, integral sec^3phi,tanphi,dphi = integral u^2,du

Passo 5

Integramos em u:
integral u^4,du = u^55, integral u^2,du = u^33
Voltando a phi, a primitiva é
sec^5phi5 - sec^3phi3 + C

Resposta

sec^5phi5 - sec^3phi3 + C

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