Calcule integralC 2 x d x-3 y d y+z^2 d z, onde C é o segmento de reta que une (1,0,0) a (0,1, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC 2x , dx - 3y , dy + z^2 , dz, onde C é o segmento de reta que liga os pontos (1, 0, 0) a (0, 1, pi/2).
Matéria envolvida: Integrais de linha no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  1. Parametrizar o caminho C.
  2. Substituir essa parametrização na integral.
  3. Integrar em relação ao parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C. Para isso, escolhemos um parâmetro t que varia de 0 a 1.
  • Quando t = 0, estamos no ponto (1, 0, 0).
  • Quando t = 1, chegamos no ponto (0, 1, pi/2).
A parametrização fica:
r(t) = (1 - t, ; t, ; t cdot pi2), com t in [0, 1]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada r'(t), que representa a taxa de variação da nossa parametrização em relação a t.
r'(t) = ( ddt(1 - t), ; ddt(t), ; ddt(t cdot pi2) ) = (-1, ; 1, ; pi2)

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função vetorial da integral:
F(x, y, z) = (2x, ; -3y, ; z^2)
Substituindo r(t):
F(r(t)) = (2(1 - t), ; -3t, ; (t cdot pi2)^2 ) = (2(1 - t), ; -3t, ; t^2 pi^24 )

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F cdot r'(t) = 2(1 - t)(-1) + (-3t)(1) + t^2 pi^24 cdot pi2
Simplificando:
= -2(1 - t) - 3t + t^2 pi^38
= -2 + 2t - 3t + t^2 pi^38
= -2 - t + t^2 pi^38

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a t de 0 a 1:
integral0^1 ( -2 - t + t^2 pi^38 ) dt
Integrando termo a termo:
= [ -2t - t^22 + pi^324 t^3 ]0^1
= ( -2(1) - 1^22 + pi^324(1)^3 ) - ( -2(0) - 0^22 + pi^324(0)^3 )
= -2 - 12 + pi^324
= -52 + pi^324

Resposta

A integral vale -dfrac52 + dfracpi^324.

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