Calcule
, onde
é o segmento de reta que une
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que liga os pontos
a
.
Matéria envolvida: Integrais de linha no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
- Parametrizar o caminho
. - Substituir essa parametrização na integral.
- Integrar em relação ao parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta
. Para isso, escolhemos um parâmetro
que varia de 0 a 1.
- Quando
, estamos no ponto . - Quando
, chegamos no ponto .
A parametrização fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada
, que representa a taxa de variação da nossa parametrização em relação a
.
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função vetorial da integral:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Resposta
A integral vale
.