Calcule integralC 2 x^3 y d x+(3 x+y) d y, onde C é dada por x=y^2, de (1,-1) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha integralC 2x^3y,dx + (3x+y),dy, onde a curva C é dada por x=y^2, indo do ponto (1,-1) até (1,1). Esse é um problema de integrais de linha sobre um campo vetorial, e para resolver vamos parametrizar a curva.

Passo 2

Para parametrizar, escolhemos y=t e, como x=y^2, temos x=t^2. O parâmetro t varia de -1 a 1. Calculamos as derivadas:
dxdt=2t, dydt=1

Passo 3

Substituímos na integral de linha:
$$
\int_C P,dx+Q,dy

\int_{t=-1}{1}\Bigl[2x(t)3y(t)\frac{dx}{dt} + (3x(t)+y(t))\frac{dy}{dt}\Bigr]dt.
integralC P,dx+Q,dy = integralt=-1^1l[2x(t)^3y(t)dxdt + (3x(t)+y(t))dydtr]dt ã
2x3y\frac{dx}{dt}=2(t2)^3\cdot t\cdot(2t)=4t^8,
\quad
(3x+y)\frac{dy}{dt}=3t^2+t.
$$
Logo o integrando fica x(t)=t^2.

Passo 4

Agora basta integrar termo a termo:
integral-1^1(4t^8 + 3t^2 + t),dt =l[tfrac49t^9 + t^3 + tfrac12t^2r]-1^1

Passo 5

Calculando nos limites:
Para t=1 temos tfrac49+1+tfrac12=tfrac3518.
Para t=-1 temos -tfrac49-1+tfrac12=-tfrac1718.
A diferença é
tfrac3518-l(-tfrac1718r)=tfrac5218=tfrac269

Resposta

26/9

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