Calcule
, onde
é dada por
, de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
, onde a curva
é dada por
, indo do ponto
até
. Esse é um problema de integrais de linha sobre um campo vetorial, e para resolver vamos parametrizar a curva.
Passo 2
Para parametrizar, escolhemos
e, como
, temos
. O parâmetro
varia de
a
. Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos na integral de linha:
$$
\int_C P,dx+Q,dy
\int_{t=-1}{1}\Bigl[2x(t)3y(t)\frac{dx}{dt} + (3x(t)+y(t))\frac{dy}{dt}\Bigr]dt.
2x3y\frac{dx}{dt}=2(t2)^3\cdot t\cdot(2t)=4t^8,
\quad
(3x+y)\frac{dy}{dt}=3t^2+t.
\quad
(3x+y)\frac{dy}{dt}=3t^2+t.
$$
Logo o integrando fica .
Logo o integrando fica
Passo 4
Agora basta integrar termo a termo:
Passo 5
Calculando nos limites:
Para temos
.
Para temos
.
A diferença é
Para
Para
A diferença é