Sejam f e g funções tais que: lim x infty f(x)= infty, lim x infty g(x)=infty. Determine se cada um dos limites a seguir pode ser determinado com base nesta informação. Se ele puder, dê o valor do limite, do contrário, mostre, por uma escolha específica de f e g, que ele não pode.
lim x infty(f(x)+g(x))

Passo 1

O enunciado diz que limxtoinftyf(x)=infty e limxtoinftyg(x)=infty. O conteúdo aqui é limites infinitos e a soma de funções que divergem para o infinito. Para resolver, vamos usar a definição de limite infinito e a propriedade de soma de limites.

Passo 2

Para mostrar que f(x)+g(x)toinfty, considere qualquer valor real M>0. Como limxtoinftyf(x)=infty, existe X1 tal que para todo x>X1 vale f(x)>M. De modo análogo, como limxtoinftyg(x)=infty, existe X2 tal que para todo x>X2 vale g(x)>M. Escolhendo X=max(X1,X2), para todo x>X temos

Passo 3

f(x)+g(x)>M+M=2M

Passo 4

Como isso vale para qualquer M, concluímos que f(x)+g(x) cresce sem limite, isto é, diverge para +infty.

Resposta

infty

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