Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n 2 cdot 4 cdot ldots(2 n)3 cdot 5 cdot(2 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n 2cdot4cdotdots,(2n)3cdot5cdotdots,(2n+1)
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar teste de convergência absoluta e teste de série alternante.

Passo 2

Primeiro vamos obter uma forma fechada para o termo positivo
an=2cdot4cdotdots,(2n)3cdot5cdotdots,(2n+1)
Note que 2cdot4cdotdots,(2n)=2^n n! e 3cdot5cdotdots,(2n+1)=(2n+1)!2^n n!.
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an=2^n n!(2n+1)!/(2^n n!)=4^n (n!)^2(2n+1)!

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, analisamos sum an. Usando a relação
binom2nn=(2n)!(n!)^2e(2n+1)!= (2n+1)(2n)!
chegamos a
an=4^n(2n+1)binom2nn
Como binom2nnsim4^nraizpi n, temos ansim C,n^-1/2.
Portanto sum an diverge por comparação com série p de p=1/2.

Passo 4

Agora aplicamos o teste da série alternante a sum(-1)^n an.
  1. an>0 e anto0 (claro pelo comportamento assintótico).
  2. Monoticidade:
an+1an=2(n+1)2n+3<1forall n,
então an+1.
Pelo critério de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 5

A série não converge absolutamente (pois sum an diverge) mas converge pelo teste alternante. Portanto ela é condicionalmente convergente.

Resposta

Série condicionalmente convergente.

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