1. Obter a equação da tangente à curva y=x^2 sen (x-2) no ponto de abscissa 2 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y = x²
sen(x–2) no ponto de abscissa 2. O conteúdo envolvido é derivada e equação da reta tangente, e vamos precisar calcular f(2) e f′(2).

Passo 2

Primeiro encontramos o valor da função em x = 2. Temos f(x) = x²
sen(x–2), portanto
f(2) = 2² cdot sin(2-2) = 4 cdot sin(0) = 0²

Passo 3

Para achar a derivada f′(x) usamos a regra do produto. Se u(x)=x² e v(x)=sen(x–2), então
u'(x)=2x, v'(x)=cos(x-2)cdot1
Pela regra do produto: f′(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x). Logo,
f'(x) = 2xsin(x-2) + x²cos(x-2)²

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x = 2:
f'(2) = 2cdot2sin(0) + 2²cos(0) = 0 + 4cdot1 = 4²

Passo 5

Com o ponto P(2,0) e inclinação m = 4, a equação da reta tangente é dada por y–y₀ = m(x–x₀). Substituindo y₀=0 e x₀=2, temos
y = 4(x-2)

Resposta

y = 4x - 8

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