- Obter a equação da tangente à curva
sen
no ponto de abscissa 2 .
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y = x²
sen(x–2) no ponto de abscissa 2. O conteúdo envolvido é derivada e equação da reta tangente, e vamos precisar calcular f(2) e f′(2).
sen(x–2) no ponto de abscissa 2. O conteúdo envolvido é derivada e equação da reta tangente, e vamos precisar calcular f(2) e f′(2).
Passo 2
Primeiro encontramos o valor da função em x = 2. Temos f(x) = x²
sen(x–2), portanto
sen(x–2), portanto
Passo 3
Para achar a derivada f′(x) usamos a regra do produto. Se u(x)=x² e v(x)=sen(x–2), então
Pela regra do produto: f′(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x). Logo,
Passo 4
Agora avaliamos a derivada em x = 2:
Passo 5
Com o ponto P(2,0) e inclinação m = 4, a equação da reta tangente é dada por y–y₀ = m(x–x₀). Substituindo y₀=0 e x₀=2, temos
Resposta
y = 4x - 8