Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n n!e^-n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série sumn=1^infty(-1)^nn!e^-n: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência absoluta e, depois, verificar a convergência da série alternante.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série sumn=1^infty|(-1)^nn!e^-n|=sumn=1^inftyn!e^-n Aplicamos o critério da razão:
an+1an=(n+1)!e^-(n+1)n!e^-n=n+1e

Passo 3

Como limntoinfty(n+1)/e=infty>1, a série sum n!e^-n diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 4

Para ver se há convergência condicional, olhamos o termo geral an=(-1)^nn!e^-n. Um requisito básico para qualquer série convergir é limntoinftyan=0. Mas
limntoinftyn!e^-n=infty
pois o fatorial cresce muito mais rápido que o exponencial e^n. Assim, an não tende a zero, e a série alternante não converge.

Passo 5

Como falha o teste do termo geral, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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