(Valor: 1,5 pontos) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático h(t)=1,5+log 3(t+1) com h(t) em metro e t em ano. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 5,5 metros de altura, determine o tempo (em ano) transcorrido do momento da plantação até o do corte.

Passo 1

O enunciado nos dá o crescimento da altura média do tronco de uma árvore pelo modelo
h(t)=1,5+log3(t+1),
onde h(t) está em metros e t em anos, e pede o valor de t quando h(t)=5,5. Vamos resolver uma equação logarítmica isolando t.

Passo 2

Substituímos h(t)=5,5 na expressão e obtemos
5,5 = 1,5 + log3(t+1)

Passo 3

Isolamos o termo logarítmico subtraindo 1,5 de ambos os lados:
5,5 - 1,5 = log3(t+1) Longrightarrow 4 = log3(t+1)

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a definição de logaritmo:
log3(t+1)=4 Longrightarrow t+1=3^4

Passo 5

Calculamos 3^4=81 e isolamos t:
t+1=81 Longrightarrow t=80

Passo 6

Verificamos que t=80 satisfaz t>=0, compatível com o modelo desde o plantio.

Resposta

O tempo transcorrido é de 80 anos.

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