Calcule integralegral triplaE x^2 d V, onde E é o sólido que está dentro do clilindro x^2+y^2=1, acima do plano z e abaixo do cone z^2=4 x^2+4 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o triplo integral de x^2 sobre o sólido E que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, limitado abaixo pelo plano z=0 e acima pelo cone z^2=4(x^2+y^2). O conteúdo aqui é integração em coordenadas cilíndricas e vamos precisar usar a transformação x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas: dentro do cilindro r<=1, acima de z=0 e abaixo de z=2r (porque z=raiz4r^2=2r). A função x^2 vira r^2cos^2theta. O jacobiano é r. Então o integrando fica r^3cos^2theta.

Passo 3

Escrevemos o integral iterado:
integraltheta=0^2pi!integralr=0^1!integralz=0^2rr^3cos^2theta,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z: isso introduz um fator 2r, pois integral0^2rdz=2r. O integrando em r,theta passa a ser 2rcdot r^3cos^2theta=2r^4cos^2theta.

Passo 4

Agora separamos a integral em produto de r e theta:
2l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^4,drr)
Calculamos integral0^1r^4,dr=1/5 e integral0^2picos^2theta,dtheta=pi.

Passo 5

Multiplicando tudo:
2timespitimes15=2pi5

Resposta

2pi5

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