Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R 200,00 , quando são vendidos 200 casacos O >=rente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de ãá\mathrm{R} \ 2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5 .
A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo
a) [105,125 [
b) [ 125, 145 [
c) [145,165 [
d) [ 165, 185 [

Passo 1

O enunciado nos dá que, com preço de venda de R$,200, vendem-se 200 casacos; e a cada desconto de R$,2 no preço, a quantidade vendida aumenta em 5 unidades. Queremos encontrar o intervalo de preço que maximiza a receita. O conteúdo envolve modelar a receita como função quadrática e executar uma otimização (cálculo de derivada).

Passo 2

Definimos k como o número de descontos de R$,2. Então o preço unitário é
p(k) = 200 - 2k
e a quantidade vendida é
q(k) = 200 + 5k

Passo 3

A receita R em função de k é o produto do preço pela quantidade:
R(k) = p(k),q(k) = (200 - 2k)(200 + 5k)
Desenvolvendo a multiplicação:
R(k) = 200cdot200 + 200cdot5k - 2kcdot200 - 2kcdot5k
R(k) = 40000 +1000k -400k -10k^2 = 40000 +600k -10k^2

Passo 4

Para maximizar R(k), igualamos a derivada a zero. Calculamos
R'(k) = ddkl(40000 +600k -10k^2r) = 600 -20k
Fazendo R'(k)=0 obtemos
600 -20k = 0 Longrightarrow k = 30
Como o coeficiente de k^2 em R(k) é negativo, este ponto é de máximo.

Passo 5

O preço ótimo corresponde a
p(30) = 200 - 2cdot30 = 200 - 60 = 140
Portanto, o valor que maximiza a arrecadação é R$,140, que pertence ao intervalo
[125,145[

Resposta

b) [125,145[

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