Calcule integralgamma v cdot d r, sendo:
(a) gamma e x^2+y^2=4 é a intersecção das superfícies z=2 x+3 e x y, orientada de modo que sua projeção no plano gamma seja percorrida no sentido anti-horário;
(b) x^2+y^2=1 e x+y+z=4 é a intersecção do cilindro x y com o plano gamma, orientada de modo que sua projeção no plano z=sen y+10 seja percorrida no sentido horário;
© x^2+ e y^2=16 é a intersecção das superfícies x y e gamma 4 z=x^2+y^2, orientada de modo que sua projeção no plano x^2+y^2=4 seja percorrida no sentido antihorário;
(d) x y e gamma é a intersecção do parabóide O z com o cilindro z=1y^2, e <= y <= e^2, orientada de modo que sua projeção no plano gamma seja percorrida no sentido anti-horário;
(e) gamma e y^2+z^2=4 é o bordo da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x=y+z do gráfico de gamma. Escolha uma orientação para .
(f) sendo dado pela interseção do cilindro com o plano . é percorrido uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

O exercício pede para calcular as integrais de linha fechadas de vetores em seis curvas Γ definidas por interseções de superfícies. O que vamos usar é basicamente duas ideias: (i) decompor o campo em parte conservativa (∇φ) e parte singular, e (ii) aplicar o Teorema de Stokes (ou Green, no caso planar) para trocar a integral de linha por uma integral de fluxo de curl v sobre uma superfície S cuja fronteira seja Γ.

Passo 2

(a) Para
vec v=(yz+cos(sin x),;xz+ln(1+y^4),;zy) e Γ = interseção de x^2+y^2=4 com z=2x+3. Escolhemos S como o disco x^2+y^2<=4 sobre o plano z=2x+3 e usaremos Stokes. Calculamos
nablatimesvec v=(z-x,;y,;0)
Como z=2x+3, o elemento de área orientado com normal para cima é
dvec S=(-2,0,1)dA
Logo
(nablatimesvec v)cdot dvec S=[(z-x)(-2)+ycdot0+0cdot1]dA=(-2z+2x)dA=(-2(2x+3)+2x)dA=(-2x-6)dA
Integrando sobre o disco de área 4pi e notando que integralD x,dA=0, vem
ointGammavec vcdot dvec r=integral duplaD(-2x-6)dA=-6cdot4pi=-24pi

Passo 3

(b) Para
vec v=l(-tfracyx^2+y^2,tfracxx^2+y^2,tfracz^31+z^2r)+l(sin(ln(1+x^4)),e^y^3,z^2r) e Γ = cilindro x^2+y^2=1 ∩ plano x+y+z=4, orientação horária na projeção. Chamemos o primeiro somando de vec a e o segundo de vec b. Notamos:
vec b é conservativo ( nablatimesvec b=0 em R^3), então ointvec bcdot dvec r=0.
– Em vec a=(P,Q,R), o termo R,dz é exato (potencial em z), e o par (P,Q)=(-y/r^2,,x/r^2) tem circulação padrão 2pi em sentido anti-horário. Mas como a orientação é horária, seu valor é -2pi.
Assim
ointGammavec vcdot dvec r=-2pi

Passo 4

© Para vec v=(2xz^3,x^2y^2,3x^2z^2)+(y,0,0) e Γ = interseção de x^2+y^2=16 com z=sin y+10, orientação anti-horário. Aplicamos Stokes com S dado por z=f(x,y)=sin y+10 sobre o disco x^2+y^2<=16. Calculamos
nablatimesvec v=(0,0,2xy^2-1),
odndo a parte (y,0,0) contribui com curl (0,0,-1). O d\vec S = (0,-f_y,1)dA = (0,-\cos y,1)dA, logo
(nablatimesvec v)cdot dvec S=(2xy^2-1)cdot1,dA=(2xy^2-1)dA
Integrando em D: x^2+y^2<=16 anula o termo xy^2 e sobra
integral duplaD(-1)dA=-área(D)=-16pi á

Passo 5

(d) Para vec v=(x-y^2,;x-z+tfracy^22+sin y,;y) e Γ = círculo x^2+y^2=4,;z=1, orientação anti-horário no plano z=1. Como S é o disco planar, usamos Green em 3D (Stokes):
nablatimesvec v=(2,0,1+2y),
e normal (0,0,1). Então
ointvec vcdot dvec r=integral duplaD(2,0,1+2y)cdot(0,0,1)dA=integral duplaD(1+2y)dA=área(D)=4pi á

Passo 6

(e) Para vec v=(e^xsin y,;e^xcos y-z,;y) e Γ = borda da superfície gerada pela rotação de z=1/y^2,;e<= y<= e^2. Há duas curvas (círculos em r=y=e,e^2). Pelo Teorema de Stokes, primeiro achamos
nablatimesvec v=(2,0,0)
Parametrizamos S por (rcosθ,rsinθ,1/r^2), e<= r<= e^2,;0<=θ<=2π, e o elemento de área orientado dá um integrando proporcional a cosθ, cuja integral em θ anula. Logo
ointGammavec vcdot dvec r=0

Passo 7

(f) Para vec v=(sin(ln(1+x^2)),;-tfraczy^2+z^2+e^y^4,;tfracyy^2+z^2+cos(z^40)) e Γ = cilindro y^2+z^2=4 ∩ plano x=y+z, orientação anti-horário no plano (y,z). Decompomos em parte vec a=(sin(ln(1+x^2)),e^y^4,cos(z^40)), que é conservativa, e parte singular vec b=(0,-z/r^2,y/r^2). Parametrizando por
y=2cos t,;z=2sin t,;x=2(cos t+sin t), obtemos
ointGammavec bcdot dvec r=integral0^2pidt=2pi,
e a parte conservativa não contribui. Portanto o resultado é 2pi.

Resposta

(a) -24\pi; (b) -2\pi; © -16\pi; (d) 4\pi; (e) 0; (f) 2\pi.

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