Calcule
, sendo:
(a)
e
é a intersecção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido anti-horário;
(b)
e
é a intersecção do cilindro
com o plano
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido horário;
©
e
é a intersecção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido antihorário;
(d)
e
é a intersecção do parabóide
com o cilindro
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido anti-horário;
(e)
e
é o bordo da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
do gráfico de
. Escolha uma orientação para
.
(f)
sendo
dado pela interseção do cilindro
com o plano
.
é percorrido uma vez no sentido anti-horário.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O exercício pede para calcular as integrais de linha fechadas de vetores em seis curvas Γ definidas por interseções de superfícies. O que vamos usar é basicamente duas ideias: (i) decompor o campo em parte conservativa (∇φ) e parte singular, e (ii) aplicar o Teorema de Stokes (ou Green, no caso planar) para trocar a integral de linha por uma integral de fluxo de curl v sobre uma superfície S cuja fronteira seja Γ.
Passo 2
(a) Para
e Γ = interseção de
com
. Escolhemos S como o disco
sobre o plano
e usaremos Stokes. Calculamos
Como
, o elemento de área orientado com normal para cima é
Logo
Integrando sobre o disco de área
e notando que
, vem
Passo 3
(b) Para
e Γ = cilindro
∩ plano
, orientação horária na projeção. Chamemos o primeiro somando de
e o segundo de
. Notamos:
– é conservativo (
em
), então
.
– Em , o termo
é exato (potencial em
), e o par
tem circulação padrão
em sentido anti-horário. Mas como a orientação é horária, seu valor é
.
Assim
–
– Em
Assim
Passo 4
© Para
e Γ = interseção de
com
, orientação anti-horário. Aplicamos Stokes com S dado por
sobre o disco
. Calculamos
odndo a parte
contribui com curl
. O d\vec S = (0,-f_y,1)dA = (0,-\cos y,1)dA, logo
Integrando em
anula o termo
e sobra
Passo 5
(d) Para
e Γ = círculo
, orientação anti-horário no plano
. Como S é o disco planar, usamos Green em 3D (Stokes):
e normal
. Então
Passo 6
(e) Para
e Γ = borda da superfície gerada pela rotação de
. Há duas curvas (círculos em
). Pelo Teorema de Stokes, primeiro achamos
Parametrizamos S por
,
, e o elemento de área orientado dá um integrando proporcional a
, cuja integral em
anula. Logo
Passo 7
(f) Para
e Γ = cilindro
∩ plano
, orientação anti-horário no plano
. Decompomos em parte
, que é conservativa, e parte singular
. Parametrizando por
, obtemos
e a parte conservativa não contribui. Portanto o resultado é
.
Resposta
(a) -24\pi; (b) -2\pi; © -16\pi; (d) 4\pi; (e) 0; (f) 2\pi.