Questão 7: Calcule o momento de inércia da região homogênea, limitada pela esfera de raio a, em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Considere
a massa total da esfera.
resp:
.
resp:
Passo 1
A questão pede o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio
e massa total
em relação a um eixo que passa pelo centro. Aqui o conteúdo é momento de inércia de corpo contínuo, e vamos precisar usar densidade volumétrica e coordenadas esféricas para montar um integral triple.
Passo 2
O momento de inércia geral é dado por
. Como a esfera é homogênea, a densidade volumétrica é
, e
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a distância perpendicular ao eixo é
e o elemento de volume é
. Então
Passo 4
Podemos separar o integral em três partes:
Passo 5
Agora calculamos cada integral:
,
e
. Substituindo,
Passo 6
Finalmente, substituímos
: