Questão 7: Calcule o momento de inércia da região homogênea, limitada pela esfera de raio a, em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Considere M a massa total da esfera.
resp: 2 M a^25.

Passo 1

A questão pede o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio a e massa total M em relação a um eixo que passa pelo centro. Aqui o conteúdo é momento de inércia de corpo contínuo, e vamos precisar usar densidade volumétrica e coordenadas esféricas para montar um integral triple.

Passo 2

O momento de inércia geral é dado por I=integral rperp^2,dm. Como a esfera é homogênea, a densidade volumétrica é rho=Mtfrac43pi a^3=3M4pi a^3, e dm=rho,dV.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a distância perpendicular ao eixo é rperp=rsintheta e o elemento de volume é dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi. Então
I=rhointegral0^2piintegral0^piintegral0^a(rsintheta)^2,r^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 4

Podemos separar o integral em três partes:
I=rhol(integral0^2pidphir)l(integral0^pisin^3theta,dthetar)l(integral0^ar^4,drr)

Passo 5

Agora calculamos cada integral: integral0^2pidphi=2pi, integral0^pisin^3theta,dtheta=tfrac43 e integral0^ar^4,dr=tfraca^55. Substituindo,
I=rhotimes2pitimestfrac43timestfraca^55=8pirho a^515

Passo 6

Finalmente, substituímos rho=3M4pi a^3:
I=8pi15cdot3M4pi a^3,a^5=25Ma^2

Resposta

I=2Ma^25

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