Resolva as inequações, isto é, encontre o conjunto dos x in R que satisfaçam às inequações:
Sendo a>0, prove que |x| se, e somente se, -a.

Passo 1

Temos a inequação |x| com a>0. O conteúdo aqui é valor absoluto e inequações compostas. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto e propriedades de inequações.

Passo 2

Mostrando que |x| implica -a:
Começamos assumindo |x|. Como para todo x vale x<=|x|, temos
x<=|x|
Logo x.
De modo análogo, como -x<=|x|, temos
-x
e, multiplicando por -1 (invertendo o sinal da inequação), obtemos x>-a. Combinando, chega-se a
-a.

Passo 3

Mostrando que -a implica |x|:
Assumimos agora -a e fazemos uma análise em dois casos:
  1. Se x>=0, então |x|=x. Como x, segue-se que |x|.
  2. Se x<0, então |x|=-x. Da desigualdade -a temos, ao multiplicar por -1, -x. Então |x|.
    Em ambos os casos obtemos |x|.

Resposta

O conjunto solução das inequações é xinR: -a, ou seja, o intervalo (-a,a).

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