Resolva as inequações, isto é, encontre o conjunto dos
que satisfaçam às inequações:
Sendo
, prove que
se, e somente se,
.
Sendo
Passo 1
Temos a inequação
com
. O conteúdo aqui é valor absoluto e inequações compostas. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto e propriedades de inequações.
Passo 2
Mostrando que
implica
:
Começamos assumindo . Como para todo
vale
, temos
Começamos assumindo
Logo
De modo análogo, como
e, multiplicando por
(invertendo o sinal da inequação), obtemos
. Combinando, chega-se a
Passo 3
Mostrando que
implica
:
Assumimos agora e fazemos uma análise em dois casos:
Assumimos agora
- Se
, então . Como , segue-se que . - Se
, então . Da desigualdade temos, ao multiplicar por , . Então .
Em ambos os casos obtemos.
Resposta
O conjunto solução das inequações é
, ou seja, o intervalo
.