Questão 10: Calcule o volume do solido W limitado pelas superfícies por z=4-x^2, z-y=5, y=0 e z=0
resp: 54415 u v

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W limitado pelas superfícies z=4-x^2, z-y=5, y=0 e z=0. No entanto, se interpretarmos literalmente z-y=5 a região fica vazia. Como o resultado fornecido é 544/15, concluímos que a superfície correta deve ser z+y=5. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas, e vamos projetar W no plano xz para depois achar limites em z e y.

Passo 2

Primeiro, pela parábola z=4-x^2 e o plano z=0, vemos que 4-x^2>=0 implica
-2<= x<=2
ou seja, o sólido existe apenas para x entre -2 e 2.

Passo 3

Para cada x fixo, a seção transversal no plano yz é dada por:
  • a base z=0,
  • o teto z=4-x^2,
  • a parede y=0,
  • e a parede inclinada z+y=5, isto é, y=5-z.
    Portanto, para cada x temos
0<= z<=4-x^2,0<= y<=5-z

Passo 4

O volume é dado pela integral tripla
V=integralx=-2^2integralz=0^4-x^2integraly=0^5-z1,dy,dz,dx

Passo 5

Integramos primeiro em y:
integraly=0^5-zdy=5-z,ficando
V=integral-2^2integral0^4-x^2(5-z),dz,dx

Passo 6

Agora integramos em z:
integral0^4-x^2(5-z),dz=[5z-z^22]0^4-x^2=20-5x^2-(4-x^2)^22=12-x^2-x^42Logo
V=integral-2^2l(12-x^2-tfracx^42r),dx

Passo 7

Finalmente, ao calcular essa integral em x e avaliar de -2 a 2, obtemos o valor
V=54415

Resposta

54415

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