Questão 10: Calcule o volume do solido
limitado pelas superfícies por
,
resp:
resp:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido W limitado pelas superfícies
,
,
e
. No entanto, se interpretarmos literalmente
a região fica vazia. Como o resultado fornecido é
, concluímos que a superfície correta deve ser
. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas, e vamos projetar W no plano xz para depois achar limites em z e y.
Passo 2
Primeiro, pela parábola
e o plano
, vemos que
implica
ou seja, o sólido existe apenas para
Passo 3
Para cada
fixo, a seção transversal no plano
é dada por:
- a base
, - o teto
, - a parede
, - e a parede inclinada
, isto é, .
Portanto, para cadatemos
Passo 4
O volume é dado pela integral tripla
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
Finalmente, ao calcular essa integral em
e avaliar de
a
, obtemos o valor