Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
onde
é curva composta pela união dos círculos
, sendo que o primeiro está orientado negativamente e o segundo está orientado positivamente (essa é uma espécie de figura oito);
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a união de duas curvas: o círculo
orientado negativamente e o círculo
orientado positivamente. Vamos usar a Fórmula Integral de Cauchy, que liga integrais em contornos a resíduos dos polos.
Passo 2
Precisamos identificar os polos de
: há um polo simples em
e um polo de ordem 2 em
. A curva
envolve apenas
(orientação negativa) e a curva
envolve apenas
(orientação positiva). A integral total é a soma das contribuições de cada curva.
Passo 3
Para a curva
, o polo em
é simples. O resíduo é
Passo 4
Como a orientação é negativa, a contribuição desta parte é
Passo 5
Para a curva
, o polo em
é de ordem 2. Usamos
Passo 6
Calculando a derivada:
Passo 7
Como a orientação é positiva, a contribuição é
Passo 8
Somando as duas partes obtemos
Resposta
-4\pi+12\pi i