Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
integralC z^3+3z(z-i)^2 d z onde gamma é curva composta pela união dos círculos |z|=12 e|z-i|=12, sendo que o primeiro está orientado negativamente e o segundo está orientado positivamente (essa é uma espécie de figura oito);

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralCz^3+3z(z-i)^2,dz, onde C é a união de duas curvas: o círculo |z|=1/2 orientado negativamente e o círculo |z-i|=1/2 orientado positivamente. Vamos usar a Fórmula Integral de Cauchy, que liga integrais em contornos a resíduos dos polos.

Passo 2

Precisamos identificar os polos de f(z)=z^3+3z(z-i)^2: há um polo simples em z=0 e um polo de ordem 2 em z=i. A curva |z|=1/2 envolve apenas z=0 (orientação negativa) e a curva |z-i|=1/2 envolve apenas z=i (orientação positiva). A integral total é a soma das contribuições de cada curva.

Passo 3

Para a curva |z|=1/2, o polo em z=0 é simples. O resíduo é
Res(f,0)=limzto0zcdotz^3+3z(z-i)^2=0^3+3(-i)^2=3-1=-3

Passo 4

Como a orientação é negativa, a contribuição desta parte é
I1=-2pi itimes(-3)=6pi i

Passo 5

Para a curva |z-i|=1/2, o polo em z=i é de ordem 2. Usamos
Res(f,i)=limzto iddzl[(z-i)^2z^3+3z(z-i)^2r]=limzto iddzl(z^3+3zr)

Passo 6

Calculando a derivada:
ddzl(z^3+3zr)=2z-3z^2,logo em z=i:;2i-3i^2=2i+3

Passo 7

Como a orientação é positiva, a contribuição é
I2=2pi itimes(2i+3)=2pi icdot2i+2pi icdot3=-4pi+6pi i

Passo 8

Somando as duas partes obtemos
I=I1+I2=6pi i+(-4pi+6pi i)=-4pi+12pi i

Resposta

-4\pi+12\pi i

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