Verifique que
é primitiva de
e estude a natureza (convergente ou divergente) da integral imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se $ F(x) = (5 - x)^{-1} $ é uma primitiva de $ f(x) = (5 - x)^{-2} $ e também para estudar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre primitivas (ou antiderivadas) e integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Uma função $ F(x) $ é uma primitiva de $ f(x) $ se, ao derivarmos $ F(x) $, a gente obtém $ f(x) $. Ou seja, $ F’(x) = f(x) $.
Passo 3
Vamos verificar se $ F(x) = (5 - x)^{-1} $ é realmente uma primitiva de $ f(x) = (5 - x)^{-2} $. Para isso, vamos derivar $ F(x) $:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivação:
Então, sim, encontramos que $ F’(x) = f(x) $. Portanto, $ F(x) = (5 - x)^{-1} $ é de fato uma primitiva de $ f(x) = (5 - x)^{-2} $.
Passo 5
Agora, vamos analisar a integral imprópria:
Observamos que o integrando $ \frac{1}{(5 - x)^{2}} $ tem um denominador que se aproxima de zero quando $ x $ se aproxima de 5, o que faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto. Por isso, a integral é imprópria.
Passo 6
Para avaliar a convergência ou divergência dessa integral, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 5:
Passo 7
Sabemos que uma primitiva de $ f(x) = (5 - x)^{-2} $ é $ F(x) = (5 - x)^{-1} $. Então, vamos calcular:
Passo 8
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite quando $ b $ se aproxima de 5:
Passo 9
À medida que $ b $ se aproxima de 5 pela esquerda, $ 5 - b $ se aproxima de 0, fazendo com que $ \frac{1}{5 - b} $ se torne muito grande, ou seja, tende ao infinito. Então:
Resposta
A integral imprópria $ \int_{1}^{5} \frac{dx}{(5 - x)^{2}} $ é divergente.