2,5 4 Calcule integralgamma-2 y d x+3 z d y+x d z, sendo gamma a interseção das superfícies x^2+4 y^2= 1 e x^2+z^2=1, com y >= 0 e z >= 0, percorrida uma vez do ponto ( 1,0,0 ) ao ponto (-1,0,0).

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha da 1-forma
omega = -2y,dx + 3z,dy + x,dz
ao longo da curva gamma dada pela interseção das superfícies
x^2+4y^2=1, x^2+z^2=1,
com y>=0, z>=0, orientada de (1,0,0) até (-1,0,0).
O conteúdo envolvido é parametrização de curva espaço em função de um parâmetro t e substituição na integral de linha.

Passo 2

Para parametrizar gamma, note que nas duas superfícies x^2 varia de 0 a 1, com y=tfrac12raiz1-x^2 e z=raiz1-x^2. Uma parametrização natural é
x=cos t, y=tfrac12sin t, z=sin t,
com t variando de 0 a pi. Para t=0 temos (1,0,0) e para t=pi temos (-1,0,0), e satisfaz y>=0, z>=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de t:
dx = -sin t,dt, dy = tfrac12cos t,dt, dz = cos t,dt

Passo 4

Substituindo em omega, obtemos
-2y,dx = -2l(tfrac12sin tr)l(-sin t,dtr) = sin^2 t,dt,
3z,dy = 3(sin t)l(tfrac12cos t,dtr) = tfrac32sin tcos t,dt,
x,dz = (cos t)(cos t,dt) = cos^2 t,dt
Logo a soma é
omega = l(sin^2 t + tfrac32sin tcos t + cos^2 tr),dt = l(1 + tfrac32sin tcos tr),dt

Passo 5

Integramos de t=0 a t=pi:
integralgammaomega = integral0^pi!l(1 + tfrac32sin tcos tr),dt = integral0^pi1,dt + tfrac32integral0^pisin tcos t,dt
Como
integral0^pi1,dt = pi, integral0^pisin tcos t,dt = tfrac12integral0^pisin(2t),dt = tfrac12l[-tfrac12cos(2t)r]0^pi =0,
segue que
integralgammaomega = pi + tfrac32cdot0 = pi

Resposta

pi

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