Verifique se as séries convergem ou não:
n ln (1+1n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série infinita com termo geral
an = n ln!l(1+tfrac1nr),
isto é, estudar a convergência de
sumn=1^infty an
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (ou teste do termo geral): se limntoinftyanneq0, a série não pode convergir.

Passo 2

Vamos calcular o limite de an. Para isso usamos a expansão de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0:
ln(1+x)=x - tfracx^22 + o(x^2) quando xto0
Tomando x=tfrac1n, obtemos
ln!l(1+tfrac1nr) = tfrac1n - tfrac12n^2 + ol(tfrac1n^2r)
Multiplicando por n,
an = nln!l(1+tfrac1nr) = nl(tfrac1n - tfrac12n^2 + o(tfrac1n^2)r) = 1 - tfrac12n + ol(tfrac1nr)

Passo 3

Com isso vemos que
limntoinftyan = limntoinftyl(1 - tfrac12n + o(tfrac1n)r) = 1neq0
Pelo teste da divergência, como o termo geral não tende a zero, a série sum an não converge.

Resposta

A série sumn=1^inftynln!l(1+tfrac1nr) diverge.

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