A tensão V de um circuito elétrico simples diminui lentamente à medida que a bateria se desgasta. A resistência R aumenta lentamente à medida que o resistor aquece. Determine a taxa na qual a corrente I do circuito está mudando quando R=400 Omega, I=80 mA, d V / d T=-10 mV / s e d R / d t=30 m Omega / s.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito onde a corrente ,I satisfaz
I(t)=V(t)R(t),
sendo que a tensão V decai com taxa dVdt=-10,mV/s e a resistência R cresce com taxa dRdt=30,mOmega/s. No instante considerado temos R=400,Omega e I=80,mA. Vamos usar derivação implícita e a regra do quociente para encontrar tfracdIdt.

Passo 2

Escrevendo
I=VR,
aplicamos a regra do quociente para derivar em relação a t:
dIdt =R,dVdt-V,dRdtR^2

Passo 3

Convertendo as taxas para unidades básicas:
dVdt=-10,mV/s=-0,01,V/s,
dRdt=30,mOmega/s=0,03,Omega/s.

Passo 4

Calculamos a tensão V no instante dado usando V=IR:
V=(0,08,A)(400,Omega)=32,V

Passo 5

Substituindo em
dIdt =400cdot(-0,01)-32cdot0,03400^2 =-4 - 0,96160000 =-4,96160000,A/s =-0,000031,A/s

Passo 6

Para dar uma ideia mais clara, convertemos para microampères por segundo:
-0,000031,A/s=-31,muA/s

Resposta

A corrente está mudando à taxa de -31,muA/s.

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