Questão 3: (2,0) Resolva a equação
x y^prime prime+(x+2) y^prime+y=e^-x
sabendo que y1=1x é solução da EDO homogênea associada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem
x,y''+(x+2),y'+y=e^-x
sabendo que y1=1/x é solução da homogênea. Vamos usar redução de ordem para encontrar outra solução do homogêneo e depois variação de parâmetros para a parte particular.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão, dividindo por x (considerando xneq0):
y''+x+2xy'+1xy=e^-xx
Aqui definimos p(x)=1+2/x, q(x)=1/x e r(x)=e^-x/x.

Passo 3

Para achar a segunda solução do homogêneo usamos redução de ordem com y2=v(x)y1. A fórmula é
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx
Como integral p(x),dx=x+2ln|x|, temos
e^-integral p=e^-xx^-2,
e dividindo por y1^2=1/x^2 aparece e^-x. Logo
integral e^-xdx=-e^-x,
e escolhemos y2=-e^-x/x, equivalente a e^-x/x.

Passo 4

Agora aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano é
W=y1 & y2y'1 & y'2=-e^-xx^2
As fórmulas são
u1'=-r(x)y2W, u2'=r(x)y1W
Substituindo r=e^-x/x, y1=1/x e y2=e^-x/x
u1'=e^-x, u2'=-1,
portanto
u1=-e^-x, u2=-x

Passo 5

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=-e^-x1x - xe^-xx = -e^-xl(1+1xr)
Logo a solução geral fica
y(x)=C11x + C2e^-xx - e^-xl(1+1xr)

Resposta

y(x)=;C_1\frac1x + C_2\frac{e^{-x}}x ;-
;e^{-x}\Bigl(1+\frac1x\Bigr).

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