Questão 2: (2,0) Encontre a solução geral da equação
(x-1)^2 y^prime prime+3(x-1) y^prime+y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO (x-1)^2 y'' + 3(x-1) y' + y = 0. É uma equação de Cauchy–Euler centrada em x=1, então vamos usar a técnica de troca de variável e o método indicial para resolvê-la.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável t = x-1. Como tfracdydx=tfracdydt e tfracd^2ydx^2=tfracd^2ydt^2, a equação fica na forma padrão de Euler–Cauchy em t:
t^2y''+3ty'+y=0

Passo 3

Adotando a forma de solução y=t^r. Calculamos:
y'=r t^r-1,
y''=r(r-1)t^r-2
Substituindo na EDO:
t^2l[r(r-1)t^r-2+3t\bigl[r t{r-1}]+tr=igl[r(r-1)+3r+1\bigr]t^r=0.]

Passo 4

Montando a equação indicial:
r(r-1)+3r+1=0
Simplificando:
r^2 - r + 3r + 1=r^2+2r+1=(r+1)^2=0,
portanto temos raiz dupla r=-1.

Passo 5

Para raiz dupla em equação de Euler, a solução geral em t é
y(t)=C1t^-1+C2t^-1ln|t|
Voltando à variável original x com t=x-1, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x)=dfracC1x-1+dfracC2x-1ln|x-1|

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