(1 ponto) Utilizando as regras de derivação e a tabela acima, calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=5 x-6x^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação que envolvem funções racionais, especificamente a regra do quociente. Vamos precisar saber como derivar polinômios e entender como aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 , a derivada dela é dada por:
Aqui, é o numerador e é o denominador da nossa função.

Passo 3

No nosso caso, identificamos que:
Vamos precisar derivar cada uma dessas funções separadamente.

Passo 4

Vamos derivar u'(x) = 5 . A derivada de é simplesmente 5, e a derivada de uma constante como -6 é 0. Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar v'(x) = 2x . A derivada de é e a derivada de 1 é 0. Assim:

Passo 6

Com f'(x) = 5 cdot (x^2 + 1) - (5x - 6) cdot 2x(x^2 + 1)^2 e calculados, vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
5(x^2 + 1) = 5x^2 + 5
(5x - 6) cdot 2x = 10x^2 - 12x
Subtraindo essas duas partes:
5x^2 + 5 - (10x^2 - 12x) = 5x^2 + 5 -10x^2 +12x = -5x^2 +12x +5

Passo 8

Agora, colocamos tudo de volta na fórmula da derivada:
f'(x) = -5x^2 +12x +5(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -5x^2 +12x +5(x^2 + 1)^2

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