4.6 Calcule:
integralpi / 2^pi x cos x d x;

Passo 1

Resumo da questão: calcular integralpi/2^pi xcos x,dx. O tema aqui é integração por partes, então vamos precisar derivar uma parte e integrar a outra.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é integral u,dv = u v - integral v,du. Para facilitar, escolhemos u = x (fácil de derivar) e dv = cos x,dx (fácil de integrar).

Passo 3

Derivando e integrando as partes escolhidas, temos:
du = dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 4

Substituindo na fórmula:
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx
E como integral sin x,dx = -cos x, concluímos que
integral xcos x,dx = xsin x + cos x + C

Passo 5

Para a integral definida, montamos o antiderivado
F(x) = xsin x + cos x
e avaliamos de pi/2 até pi:
integralpi/2^pi xcos x,dx = F(pi) - Fl(tfracpi2r)

Passo 6

Calculando em cada limite:
F(pi) = pisinpi + cospi = 0 - 1 = -1,

Passo 7

Subtraindo os resultados dos limites obtemos:
-1 - tfracpi2 = -1 - pi2

Resposta

-1 - \frac{\pi}{2}

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