Provar que para todo
, temos
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo x>0, vale a desigualdade
. Isso envolve cálculo diferencial e uso do Teorema do Valor Médio (TVM) para funções deriváveis.
Passo 2
O Teorema do Valor Médio afirma que, se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
. Vamos aplicar esse teorema à função
no intervalo
.
Passo 3
Pelo TVM, existe
tal que
Passo 4
Como a função exponencial é estritamente crescente, de
segue
. Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Portanto, para todo
temos a desejada desigualdade.