Provar que para todo x>0, temos
e^x-1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo x>0, vale a desigualdade e^x-1 < x e^x. Isso envolve cálculo diferencial e uso do Teorema do Valor Médio (TVM) para funções deriváveis.

Passo 2

O Teorema do Valor Médio afirma que, se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que f(b)-f(a)=f'(c), (b-a). Vamos aplicar esse teorema à função f(t)=e^t no intervalo [0,x].

Passo 3

Pelo TVM, existe cin(0,x) tal que
e^x - 1 = f(x)-f(0) = f'(c), (x-0) = e^c,x

Passo 4

Como a função exponencial é estritamente crescente, de c segue e^c. Substituindo em e^x-1=e^c x, obtemos
e^x - 1 = e^c x < e^x x = x e^x

Passo 5

Portanto, para todo x>0 temos a desejada desigualdade.

Resposta

e^x-1 < x e^x

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