Usando o Teorema do Valor Medio, calcular .

Passo 1

Temos que calcular limxto+infty x^2l(e^11+x-e^1xr). Este é um problema de limite que vamos resolver usando o Teorema do Valor Médio para a função exponencial.

Passo 2

Definimos g(t)=e^t e aplicamos o Teorema do Valor Médio no intervalo [1/(1+x),,1/x]. Assim existe xixinl(tfrac11+x,tfrac1xr) tal que
e^11+x - e^1x = g'(xix)l(11+x - 1xr) = e^xixl(11+x - 1xr)
Multiplicando por x^2 obtemos
x^2l(e^tfrac11+x - e^tfrac1xr) = x^2 e^xixl(11+x - 1xr)

Passo 3

Agora simplificamos o fator entre parênteses:
11+x - 1x = x - (1+x)x(1+x) = -1x(x+1)
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x^2l(e^tfrac11+x - e^tfrac1xr) = -x^2x(x+1),e^xix = -xx+1,e^xix

Passo 4

Para concluir, tomamos o limite quando xto+infty: temos tfracxx+1to1 e, como xix está entre 1/(1+x) e 1/x, segue xixto0 e portanto e^xixto1. Assim o limite procurado é
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Resposta

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