Provar que se
então existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, existe algum
tal que
Trata‐se portanto de provar a existência de uma raiz dessa equação no intervalo
, usando manipulações de logaritmos.
Passo 2
Vamos reescrever a igualdade para isolar
. Partimos de
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
Dessa forma,
ou seja
Passo 3
Agora vamos ver em que posição esse
cai. Note que, para
, temos
, de modo que o denominador
é negativo, e
, logo o quociente
é positivo. Concluímos que
Para comparar com
, observamos que “para todo”
bem próximo a
vale
o que implica, depois de multiplicar por um número negativo (e invertendo a desigualdade),
e, portanto,
Fica claro que o
que resolve a equação satisfaz
, e nunca cairá no intervalo
.
Passo 4
Concluímos que a solução única da equação
vem dada por
e que esse
não pertence a
. Ou seja, não existe
satisfazendo a igualdade proposta.
Resposta
Não existe nenhum
que satisfaça a igualdade indicada.