Provar que se 1 então existe ln aln b=e^a-bln c tal que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados 1, existe algum cin(a,b) tal que
ln aln b=e^a-bln c
Trata‐se portanto de provar a existência de uma raiz dessa equação no intervalo (a,b), usando manipulações de logaritmos.

Passo 2

Vamos reescrever a igualdade para isolar c. Partimos de
ln aln b=e^a-bln c
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
lnl(tfracln aln br)=a-bln c
Dessa forma,
ln c=a-bln(ln a)-ln(ln b)
ou seja
c=expl(a-bln(ln a)-ln(ln b)r)

Passo 3

Agora vamos ver em que posição esse c cai. Note que, para 1, temos ln(ln a), de modo que o denominador
ln(ln a)-ln(ln b)
é negativo, e a-b<0, logo o quociente
a-bln(ln a)-ln(ln b)
é positivo. Concluímos que
ln c>0Longrightarrow c>1
Para comparar com b, observamos que “para todo” a bem próximo a b vale
a-b< -ln bl(ln(ln b)-ln(ln a)r),
o que implica, depois de multiplicar por um número negativo (e invertendo a desigualdade),
a-bln(ln a)-ln(ln b)>ln b
e, portanto,
ln c>ln bLongrightarrow c>b
Fica claro que o c que resolve a equação satisfaz c>b, e nunca cairá no intervalo (a,b).

Passo 4

Concluímos que a solução única da equação
ln aln b=e^a-bln c
vem dada por
c=expl(a-bln(ln a)-ln(ln b)r)
e que esse c não pertence a (a,b). Ou seja, não existe cin(a,b) satisfazendo a igualdade proposta.

Resposta

Não existe nenhum cin(a,b) que satisfaça a igualdade indicada.

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