Calcule integralsigma F cdot d r onde F=x i-z k e sigma é a superfície formada por parte do parabolóide x=y^2+z^2 com 0 <= x <= 1, e pelo disco y^2+z^2 <= 1, x=1. Asuma sigma orientada

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vec F(x,y,z)=xhat i - zhat k através da superfície fechada sigma formada pelo paraboloide x=y^2+z^2 para 0<= x<=1 e pelo disco y^2+z^2<=1, x=1. Isso cai no tema de fluxo de campo vetorial em superfície fechada e podemos usar o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência (ou de Gauss) estabelece que o fluxo de um campo vec F através de uma superfície fechada sigma é igual ao integral triplo da divergência de vec F sobre o volume V delimitado por sigma:
integral duplasigma vec Fcdothat n,dS = integral triplaV (nablacdotvec F),dV

Passo 3

Vamos calcular a divergência de vec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(x) + partialpartial y(0) + partialpartial z(-z) = 1 + 0 - 1 = 0

Passo 4

Como nablacdotvec F=0 em todo o volume V, o integral triplo
integral triplaV (nablacdotvec F),dV = 0

Passo 5

é zero. Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de vec F através de sigma também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados