Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

A gente tem uma EDO linear de segunda ordem não homogênea: y'' + 25,y = 20,sen5x. O conteúdo é EDO com coeficientes constantes e vamos usar método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea. A equação característica é r^2 + 25 = 0, cujas raízes são r = pm 5i. Daí a solução geral da homogênea é
yh = C1cos5x + C2sin5x

Passo 3

Como o termo forçante 20,sen5x tem a mesma frequência da homogênea, temos ressonância. Então tentamos um particular da forma
yp = xl(Acos5x + Bsin5xr)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp' = Acos5x + Bsin5x + xl(5Bcos5x - 5Asin5xr)
yp'' = 10Bcos5x - 10Asin5x + xl(-25Acos5x - 25Bsin5xr)

Passo 5

Substituindo em y'' + 25y:
yp'' + 25yp = l(10Bcos5x - 10Asin5xr) + xl(-25Acos5x - 25Bsin5x + 25Acos5x + 25Bsin5xr)
O termo com x some e sobra:
10Bcos5x - 10Asin5x = 20,sen5x
Igualando coeficientes: de cos5x: 10B = 0 B=0. De sin5x: -10A = 20 A = -2.

Passo 6

Portanto o particular é yp = -2xcos5x. A solução geral da EDO é
y(x) = yh + yp = C1cos5x + C2sin5x - 2xcos5x

Resposta

y(x) = C1cos5x + C2sin5x - 2xcos5x

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